HISTORIA

Posted in CADENA DE MARKOV by Ingenieros Industriales on 19 octubre 2010

ANDREI ANDREYEVICH MARKOV

Nacido el 14 de junio de 1856, en San Peterburgo, Rusia, fallecido el 20 de julio de 1922, en San Peterburgo, Rusia.

Andrei Andreyevich Markov, se graduó como matemático en el año 1878, en la Universidad San Petersburgo, donde, a contar del año 1886, comenzó su carrera como profesor. En sus inicios laborales, focalizó su trabajo en análisis y teoría del número, fracciones continuas, límite de integrales, teoría de aproximación y la serie de convergencias.

Después del año 1900, Markov comienza a aplicar el método de fracciones continuas, iniciado por su profesor Pafnuty Chebyshev, a la teoría de las probabilidades. A su vez, estudia las secuencias de las variables mutuamente dependientes, esperando con ello establecer, de manera general, las leyes limitantes de las probabilidades. Probó el teorema del límite central bajo supuestos bastante generales.

Markov es recordado, particularmente, por su estudio de las cadenas secuenciales, que consiste en variables al azar en las cuales la variable futura es determinada por la preexistente pero independiente de la manera en que ésta se generó de sus precursores. Este trabajo lanzó la teoría de los procesos estocásticos.

En 1923, Norbert Wiener se convirtió en el primero que trató rigurosamente el proceso continuo de Markov. La fundación de una teoría general fue proporcionada durante los años 30 por Andrei Kolmogorov. Markov también estuvo interesado en la poesía e hizo estudios de los distintos estilos poético. Kolmogorov tenía intereses similares. Tuvo un hijo (del mismo nombre) que nació el 9 de septiembre de 1903 y siguió las huellas de su padre, llegando a convertirse también en un matemático de renombre.

Fuente:  http://www.astrocosmo.cl/biografi/b-a_markov.htm

HISTORIA

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BIOGRAFÍA DE JHON VON NEUMANN

(1903 -1957)

VIDEO

Nació en Hungría en 1903, vivo en Alemania hasta los 27 años.  Sus profesores desde la escuela primaria reconocieron su talento para las matemáticas.  Su padre, un rico banquero, contrato profesores universitarios para que le dieran clases particulares de matemáticas.  Cuando contaba con 19 años de edad ya había publicado su primer articulo y fue reconocido como matemático profesional.  Recibió un doctorado en filosofía en el área de las matemáticas en la Universidad de Berlín.

Von Neumann emigro a Estados Unidos en 1930, y llego a ser catedrático en la Universidad de Princeton. 3 años después, se le extendió una invitación para ingresar al nuevo instituto de estudios avanzados de Princeton, donde permaneció el resto de su vida.

Cuando estallo la segunda guerra mundial Von Neumann, un judío alemán, participó en diferentes proyectos científicos relacionados con la causa de la guerra, y principalmente con la creación de la bomba de hidrogeno en los Alamos.

Su teoría de juegos sorprendió a la comunidad científica porque proporcionaba un análisis estratégico de un tema que parecía escapar al análisis: los juegos de habilidad.  Además, la teoría de juegos influyo significativamente en la economía, donde fue aplicada a situaciones competitivas semejantes a los juegos.  De hecho, Von Neumann y Oskar Morgenstern, economista de Princeton, escribieron un libro sobre teoría de juegos y sus aplicaciones a la economía, titulado “teoría de juegos y comportamiento económica”.

Von Neumann escribió cerca de 150 artículos sobre matemáticas, física, y ciencias de la computación.  Murió en 1957.

BIOGRAFIA DE OSKAR  MORGENSTERN

(1902-1976)

Nació en Gorlitz, Silesia, estudio en las universidades de Viena, Harvard y New York.  Fue Miembro de la Escuela Austriaca y avezado matemático, participo en los famosos “Coloquios de Viena” organizados por Karl Menger (hijo de Carl Menger) que colocaron en contacto científicos de diversas disciplinas, de cuya sinergia se sabe que surgieron multitud de nuevas ideas e incluso nuevos campos científicos.

Emigro a Estados Unidos durante la Segunda Guerra Mundial ejerciendo la docencia en Princeton. Para 1944 publico conjuntamente con John von Neumann titulado “teoría de juegos y comportamiento económica”  en el cual explican dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos como el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y después buscar para cada jugador una estrategia óptima. Lo que es mejor para un jugador depende de lo que los otros jugadores piensan hacer, y esto a su vez depende de lo que ellos piensan del primer jugador hará.

En la segunda parte del libro se desarrolla el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, no es de sorprender que sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores. En particular, Von Neumann y Morgenstern abandonaron todo intento de especificar estrategias óptimas para jugadores individuales. En lugar de ello se propusieron a clasificar los modelos de formación de coaliciones que son consistentes con conductas racionales.

Quienes somos

Posted in SOBRE LOS INGENIEROS by Ingenieros Industriales on 19 octubre 2010

Ingenieros Industriales
Universidad Libre, Barranquilla, Colombia
Somos estudiantes de ingenieria indstrial, mostrando un espacio dedicado a modelos matematicos de producción.

INGENIEROS:

DIANA MARCELA APONTE APONTE

ANA KARINA MONTERO AVENDAÑO

ALEXANDER JHOSEPT ALFORD JINETE

MONICA LUCIA ALBOR ESTRADA

JOSUE DANIEL SERRANO REYES

VANNESSA GUARNIZO MARTINEZ

CARLOS ANDRES PEREZ VARGAS

LLAMAR A MARKOV

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Markov ya se ha actualizado aprendiendo excel para explicar una matriz de transición, llamalo (click sobre el teléfono) y escucha su explicación.

APLICACIONES

Posted in TEORIA DE JUEGOS by Ingenieros Industriales on 19 octubre 2010

APLICACIONES DE LA TEORÍA DE JUEGO:

Para iniciar con este espacio, primero queremos mostrar un video introductorio.

 Un juego es cualquier situación en la cual compiten dos o más jugadores; la extensión con que un jugador alcanza sus objetivos en un juego depende del azar, de sus recursos físicos y mentales y de los de sus rivales, de las reglas del juego y de los cursos de acciones que siguen los jugadores individuales, es decir, sus estrategias. Una estrategia es una especificación de la acción que ha de emprender un jugador en cada eventualidad posible del juego. El Ajedrez y el Póker son considerados buenos ejemplos como también son el duopolio y el oligopolio en los negocios.

 Se supone que, en un juego, todos los jugadores son racionales, inteligentes y están bien informados. En particular, se supone que cada jugador conoce todo el conjunto de estrategias existentes, no solo para él, sino también para sus rivales, y que cada jugador conoce los resultados de todas las combinaciones posibles de las estrategias.

 La teoría de juegos está básicamente ligada a las matemáticas, ya que es principalmente una categoría de matemáticas aplicadas junto a otras áreas de esta ciencia como son las probabilidades, la estadística y la programación lineal en conjunto con la teoría de juegos.

 Esta teoría tiene aplicaciones en numerosas áreas, como las ciencias políticas o la estrategia militar, que fomentó algunos de los primeros desarrollos de esta teoría, pero la principal aplicación de la teoría de juego se encuentra en las ciencias económicas porque intenta encontrar estrategias racionales en situaciones donde el resultado depende no solamente de la estrategia de un participante y de las condiciones del mercado, sino también de las estrategias elegidas por otros jugadores, con objetivos distintos o coincidentes.

 En esta ciencia se ha evolucionado notablemente, ya que a partir de los instrumentos proporcionados por Von Neumann y Morgenstern se comenzó a progresar en el conocimiento de la competencia imperfecta, porque hasta entonces solo tenían explicación “juegos” particularmente simples, como el monopolio o la competencia perfecta, ya que el monopolio puede ser tratado como un juego con un único jugador, y la competencia perfecta puede ser entendida teniendo en cuenta un número infinito de jugadores, de manera que cada agente individual no puede tener un efecto sobre agregados de mercado si actúa individualmente.

 La teoría de juego en otras palabras se aplica para diferentes situaciones como las siguientes:

  • Tres cadenas de distribuidores de comida rápida compiten en ventas, cada cadena elige un programa publicitario y una política de precios; una de las elecciones de la cadena afecta no solo sus ventas, sino también de las competencias.
  • Dos países están en guerra. los lideres de cada uno de los países toma decisiones referentes a tácticas, personal, equipo y financiamiento; cada decisión afecta el resultado de la guerra.
  • Un grupo de personas juegan póker. cada jugador toma decisiones relacionadas con el descarte y las apuestas; además las decisiones de cada jugador afectan no solo al jugador, sino a los contrincantes.

Fuentes:

 Articulo: teoría de juegos Por Juan Bravo Raspeño

 Articulo: teoría de juegos por Matías Martínez Ferreira

  • WINSTON Wayle L. Investigación de operaciones aplicaciones y algoritmos. Cuarta edición. Editorial Thomson.
  •  HILLIER Frederick S, LIEBERMAN Gerald J. Investigación de operaciones. Séptima edición. Editorial McGRAW-Hill.
  •  JOHNSON David B, MOWRY Thomas A. Matemáticas finitas: aplicaciones prácticas. Año 2000. Editorial Thomson
  • ANDERSON David R. Métodos cuantitativos para los negocios. Editorial Thomson. año 2004

SOLUCIONES

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Los problemas de teoría de juegos tiene diversas maneras de solucionarlos, dependiendo de su complejidad y tipo de juegos, a pesar que existen distintos software es de importancia para un ingeniero conocer la manera de resolverlos manualmente, en este espacio veremos la solución de distintos problemas, y para empezar explicaremos el metodo grafico para la solucion de juegos con estrategía aleatorias.

MÉTODO GRAFICO:

Este metodo se utiliza para representar el comportamiento de juegos estrictamente no determinados, es decir, si un juego con matriz de recompensa Z, el jugador renglon adopta un juego aleatorizado donde la probabilidad de ocurrencia de la estrategía del renglón 1 es p1 y la del renglón 2 es p2, mientras el jugador columna adopta una estrategía pura, entonces los valores esperados de la estrategía aleatorizada contra la estrategía pura se halla mediante la matriz E.

 

 

El valor esperado de la estrategia aleatoria es el elemento menor de la matriz E.

debido a que la matriz E dá elementos que en realidad son ecuaciones en terminas de p, es necesario graficarlos para hallar la interseccion entre los dos.

Esta intersección es el valor esperado máximo que el jugador renglón puede alcanzar debido a que el jugador columna no le permitirá tener uno mayor.

Las lineas representan el comportamiento del valor esperado del jugador renglón la cual depende de la estrategía del jugador columna.

 A su vez, si el jugador columna es quien decide tener un juego aleatorio, y el jugador renglón escojer una estratégia pura, los procedimientos a seguir son los mismos pero haciendo la siguiente operación:

Se obtendrán tambien ecuaciones con q, las cuales se graficarán y analizarán, al final la interseccion de la grafica dará el mismo valor del juego que el hallado con p.

EJERCICIOS

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Se iniciará este espacio con un problema resuelto en excel, llamado Gran Colombia, a continuación ofrecemos el enlace donde lo pueden apreciar en otra pagina por excel.
 

A continuacion mostraremos otro ejercicio tomado de el libro de WINSTON Wayle L. Investigación de operaciones aplicaciones y algoritmos. Cuarta edición. Editorial Thomson. pagina 806.

VISUALIZAR EN OTRA PAGINA

El siguiente ejemplo fue tomado del libro de HILLIER Frederick S, LIEBERMAN Gerald J. Investigación de operaciones. Séptima edición. Editorial McGRAW-Hill.

VISUALIZAR EN WORD

MATRICES DINÁMICAS

Pasos para resolver los ejercicios en Excel-Solver

  1. Transcribir la matriz

2.  Colorar en la columna siguiente a la matiz el MiniMax que se obtiene haciendo click en la celda y Poniendo =Min( y se seleccionan los valores a calcular es decir los de la estrategia 1 del renglón, luego la estrategia 2 del renglón y así sucesivamente para finalmente seleccionar el numero mayor de estos. (en este caso se encuentra en negrita)

3.  Colocar en la fila siguiente a la matiz el MaxMini que se obtiene haciendo click en la celda y Poniendo =Max( y se seleccionan los valores a calcular es decir los de la estrategia 1 de la columna, luego la estrategia 2 de la columna y así sucesivamente para finalmente seleccionar el número menor de estos. (en este caso se encuentra en negrita)

4. Se coloca las casillas de las probabilidades del jugador renglón, la sumatoria de estas.

5.  Se adiciona también la celda objetivo que nos dará el valor del juego (MaxZ=V) y las celdas que contienen la multiplicación de las probabilidades por cada columna de la matriz. Estas celdas de multiplicación se realizan colocando =sumaproducto(y se selecciona las celdad de las probabilidades y las celdas de la respectiva columna).

6.  Te diriges a la parte superior de Excel el campo “Datos le das click y luego click en solver ”

7.  Luego se modifica la ventana de solver colocando en la celda objetivo la celda que nos dará el valor del juego como se muestra en la imagen. En la opción de valor de loa celda se escoge máximo Y en el campo de cambiar celda se coloca las tres celdas de los sumaproductos seguidos de un punto y coma (;) y de la celda objetivo como también se muestra en la imagen.

a)    Se procede a agregar las restricciones en el campo de “sujetas a las siguientes restricciones “la suma de las probabilidades igual a 1.

b)    Las probabilidades mayor o igual a 0.

 

c)    Las celdas de sumaproducto mayor igual a la celda objetivo

 

d)    Quedando las restricciones de esta manera se pasa a modificar las opciones como se muestra en la imagen

e)    Se escoge la opción de adoptar modelo no  lineal

f)    Para finalizar y obtener los resultados se da click en resolver

8.  Para obtener obtener el Minz=v y las probabilidades del jugador columna se coloca las casillas de las probabilidades del jugador columna, la sumatoria de estas. Se adiciona también la celda objetivo que nos dará el valor del juego (MinZ=V) y las celdas que contienen la multiplicación de las probabilidades por cada renglón de la matriz. Estas celdas de multiplicación se realizan colocando = sumaproducto (y se selecciona las celdas de las probabilidades y las celdas de el respectivo renglón)

9.  Te diriges a la parte superior de Excel el campo “Datos le das click y luego click en solver ” (como se indica en paso 6)

10.  Se modifica la ventana de solver colocando en la celda objetivo la celda que nos dará el valor del juego como se muestra en la imagen. En la opción de valor de lo celda se escoge minimo Y en el campo de cambiar celda se coloca las tres celdas de los sumaproductos seguidos de un punto y coma (;) y de la celda objetivo como también se muestra en la imagen

 

a) Se procede a agregar las restricciones en el campo de “sujetas a las siguientes restricciones “la suma de las probabilidades igual a 1

 

b) Las probabilidades mayor o igual a 0

 

c)Las celdas de sumaproducto mayor igual a la celda objetivo

 

d) quedando las restricciones de esta forma se siguen los pasos 7e y 7f quedando los resultados de la siguiente manera

 

Los ejercicios anteriores son hechos por el metodo gráfico.

Acontinuación se mostrará enlaces donde pueden ver los ejercicios anteriores en ventanas distintas.

Ejercicio en Excel

CONCEPTOS

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JUEGOS DE SUMA CERO:

Suma cero describe una situación en la que la ganancia o pérdida de un participante se equilibra con exactitud con las pérdidas o ganancias de los otros participantes.

Se llama así; porque si se suma el total de las ganancias de los participantes y se resta las pérdidas totales el resultado es cero. el ajedrez, el póker  son ejemplos de juegos de suma cero.

JUEGOS DE SUMA CONSTANTE:

Son juegos en donde en cada combinacion de estrategias, la suma de los pagos o utilidades para cada jugador es el mismo.

En cada situacion en donde en el intercambio no permiten la creacion o destrucción de recursos son juegos de suma constante.

PUNTO DE SILLA, JUEGO ESTRICTAMENTE DETERMINADO:

Un punto de silla es un pago que está simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna. Para encontrar puntos de silla, rodear los mínimos renglón y meta en caja los máximas columna. Los puntos de silla son aquellas entradas que son simultáneamente rodeado y en caja.

  

Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos un punto de silla. Las siguientes condiciones se aplican a los juegos estrictamente determinado:

    1. Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.

   2. Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.

 El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto o parcial.

 UNA ESTRATEGIA PURA:

Es aquella que se da cuando el jugador utiliza la misma estrategia o acción en cada turno.

JUEGOS NO ESTRICTAMENTE DETERMINADOS:

Esta clase de juegos tiene mas de una alternativa de juego por la que los jugadores podrian ganar, por lo que no estan obligados a siempre jugar con la misma estrategia, no presentan un punto silla por que el número menor de todos los máximos de las columnas no es igual al número mayor de los menores de los renglones, dando como resultado un juego no estrictamente determinadol.

ELIMINACIÓN DE LAS ESTRATEGIAS DOMINADAS:

Existen juegos con estrategías las cuales los jugadores nunca escojeran por tener una mejor opción (estrategía con mayor ganancia), estas estrategías se denominan dominadas, y aquellas las cuales siempre estan encima por ofrecer mayor ganancia son las dominantes.

ESTRATEGIAS MIXTAS:

En la teoria de juego el objetivo para los jugadores es siempre escojer la estratégia optima, si el juego es estrictamente determinado, siempre habrá una estrategia pura, por lo que no habrá cambios de esta, sin embargo se podría tener situaciones en donde el juego no es estrictamente deteminado y por consiguiente el oponente no esta sujeto a una sola estrategía, al conocer ya la adoptada por el jugador, este oponente podría cambiar a otra estrategía que le traería mayores beneficios a el y menores al jugador, debido a esto, es necesario que este adopte un cambio de estrategías continuamente, obteniendo asi un juego de estrategías mixtas. 

ESTRATEGIA ALEATORIA:

Es aquella en donde el jugador renglón elige un renglón al azar, de acuerdo con cierta distribución de probabilidad. Por ejemplo, el jugador renglón podría la siguiente distribución de probabilidad:

RESULTADO PROBABILIDAD
Renglón1 2/3
Renglón 2 1/3

 

 

 

Si el jugador renglón utiliza esta distribución de forma predecible, como cuando selecciona repetidamente el renglón 1 dos veces y luego el renglón 2 una vez, el jugador columna podría descubrir la estrategia de responder con el fin de reducir al mínimo su eficacia. Por lo tanto, el jugador renglón debe emplear algún dispositivo aleatorio, como la rueda giratoria que se mostro anteriormente (ruleta de pueblo), con el cual elegiría 1  dos terceras partes del tiempo.       

Los juegos de punta de silla están estrictamente determinados; es decir, los jugadores adoptan estrategias pura, y el curso del juego se determina por adelantado (suponiendo que los jugadores son agresivos y capaces). Los juegos sin punto de silla no están estrictamente determinados; si un jugador emplea una estrategia aleatoria, el curso del juego estará sujeto al azar, y todo puede suceder. No hay valor fijo para el juego; solo hay un valor muy probable o esperado.

ESTRATEGIAS ALEATORIAS Y PURAS:

Si un jugador renglón adopta una estrategia aleatoria, el jugador columna puede responder con una estrategia pura o con una aleatorizada.

Una estrategia pura es un término empleado para designar un tipo de estrategias en teoría de juegos. Cada jugador tiene a su disposición un conjunto de estrategias. Si un jugador elige una acción con probabilidad 1 entonces está jugando una estrategia pura. Esto la diferencia de la estrategia mezclada, donde jugadores individuales eligen una distribución de probabilidad sobre muchas acciones.

Fuente: 

  • JOHNSON David B, MOWRY Thomas A. Matemáticas finitas: aplicaciones prácticas. Año 2000. Editorial Thomson

APLICACIONES

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Aplicación de la cadena de markov

 El modelo creado por andrei markov ha encontrado hoy múltiples aplicaciones en campos muy diversos como biología, economía y en aplicaciones de internet como la construcción de paginas usadas hoy por el buscador Google.

Las aplicaciones más usuales de esta técnica en el campo comercial se han centrado en el análisis de las preferencias de marcas por el consumidor y de la participación en el mercado.

EJEMPLO:

SOLUCIÓN:

Fuente:  WINSTON Wayle L. Investigación de operaciones aplicaciones y algoritmos. Cuarta edición. Editorial Thomson.

Para apreciar mejor el problema con su solución dar click aquí.

 

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